线段树/区间树(Segment Tree)

线段树的定义

实质是二叉树(平衡但不完全)，但每一个节点都是一个区间(根据业务逻辑的定义)。例如求和，根结点就是所有的元素和，叶子结点就是一个元素的值。
如果区间内有n个元素，使用数组表示线段树，在一般不考虑添加元素的前提下，使用4n的静态空间即可。

线段树的应用

对于某一类问题，我们关心的是一段区间(线段)

经典问题之一：区间染色

有一面长度为n的墙，每次选择一段墙进行染色。
1. m次操作后，我们可以看见多少种颜色?
2. m次操作后，我们在[i, j]区间内看见多少种颜色?
染色操作 = 更新区间，查询操作 = 查询区间

经典问题之二：区间统计查询

查询一个区间[i, j]的最大值，最小值，或者区间数字和

代码实现(Java)

线段树实现:

public class SegmentTree<E> {
	
    private E[] tree;
    private E[] data;
    private Merger<E> merger;

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {
    	this.merger = merger;

        data = (E[])new Object[arr.length];
        for(int i = 0 ; i < arr.length ; i ++)
            data[i] = arr[i];

        tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }

    public int getSize() {
        return data.length;
    }

    // 返回index位置上的元素
    public E get(int index) {
    	// 索引验证:
        if(index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");
        return data[index];
    }

    // 返回区间[queryL, queryR]的值
    public E query(int queryL, int queryR) {

    	// 合法性验证:
        if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)
            throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");

        return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
    }

    // 将index位置的值，更新为e
    public void set(int index, E e) {

        // 合法性验证:
        if(index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");

        data[index] = e;
        set(0, 0, data.length - 1, index, e);
    }

    // 在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r){

        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        // 实际上mid = (l + r) / 2, 防止整型溢出
        int mid = l + (r - l) / 2;
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

    // 在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {

        if (l == queryL && r == queryR)
            return tree[treeIndex];

        int mid = l + (r - l) / 2;

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        if (queryL >= mid + 1)
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        else if (queryR <= mid)
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);

        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
        return merger.merge(leftResult, rightResult);
    }

    // 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {

        if(l == r){
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (index >= mid + 1)
            set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
        else
            set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
    private int leftChild(int index){
        return 2 * index + 1;
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
    private int rightChild(int index){
        return 2 * index + 2;
    }
}

融合器(接口):

1
2
3

public interface Merger<E> {
    E merge(E a, E b);
}

Main函数举例:

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
        SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums,
             new Merger<Integer>() {
                    @Override
                    public Integer merge(Integer a, Integer b) {
                        return a + b;
                    }
                });
    }
}

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本文所述的知识总结出自慕课网课程 ——《算法大神带你玩转数据结构从入门到精通》, 授课老师: liuyubobobo
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